Conjuntos

 Conjuntos

Un conjunto se define como la agrupación de diferentes elementos que comparten entre sí características y propiedades semejantes. Estos elementos pueden ser cualquier cosa, tales como números, canciones, meses, personas, etcétera.

Un conjunto puede convertirse también en un elemento.

Ejemplo:

Un ramo de flores. En principio una flor sería el primer elemento, pero al conjunto de flores se lo puede considerar luego como un ramo de flores, convirtiéndose así, en un nuevo elemento.

Tipos de conjuntos

A la hora de formar un conjunto, la manera y el por que de como los agrupamos puede variar, dando lugar entonces a los diferentes tipos de conjuntos:

• Conjunto vacío: no presenta ni tiene elementos.

          Ejemplo:

           N(A)=0

• Conjunto unitario: aquel que está compuesto por un único elemento.

          Ejemplo:

          La luna se encuentra dentro de este conjunto pues es el único satélite natural del planeta           tierra.

• Conjuntos finito:  tiene una entidad finita de elementos.

           Ejemplo: 

           Los meses del año establecen un conjunto finito: enero, febrero, marzo, abril, mayo,                    julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre y diciembre.

• Conjunto infinito: no tiene una cantidad finita de elementos.

          Ejemplo:          Los números son un claro ejemplo de un conjunto infinito.

• Conjunto referencial o universal: se los representa Re o U. Contiene elementos que desean conectarse en un problema.

          Ejemplo:

          Una letra del alfabeto en español

CUANTIFICADORES

Cuando se habla de cuantificadores en términos de Lógica, Teoría de Conjuntos o Matemáticas en general, se hace referencia a aquellos símbolos que se utilizan para indicar cantidad en una proposición, es decir, permiten establecer “cuántos” elementos de un conjunto determinado, cumplen con cierta propiedad. 

Los cuantificadores permiten la construcción de proposiciones a partir de funciones proposicionales, bien sea particularizando o generalizando. Por ejemplo, si consideramos la función proposicional:

P(x) = x es menor que dos

Esto podría particularizarse así: “Existe un número real que es menor que dos” o generalizarlo diciendo: “Todos los números reales son menores que dos”.

En cualquiera de los dos casos, se especifica un conjunto donde está tomando valores la variable, para nuestro ejemplo, el conjunto de los números reales.

Para notar la particularización y la generalización, se utiliza la siguiente simbología, respectivamente: 



que se lee: “existe un equis que pertenece a erre (a los reales), tal que equis es menor que dos” 

Mientras que 

se lee: “para todo equis que pertenece a erre (a los reales), se cumple que equis es menor que dos” 

El símbolo (para todo…) se denomina cuantificador universal, y el símbolo  (existe al menos un…) se denomina cuantificador existencial. 

Así, un cuantificador transforma una función proposicional, en una proposición a la cual se le asigna un valor de verdad. 

Los cuantificadores más utilizados son entonces: 

• CUANTIFICADOR UNIVERSAL (para todo…): se utiliza para afirmar que TODOS los elementos de un conjunto, cumplen con una condición o propiedad determinada. Esto se expresa como:

• CUANTIFICADOR EXISTENCIAL  (existe al menos un…): se utiliza para indicar que existen uno o más elementos en el conjunto A que cumple(n) con una condición o propiedad determinada.

• CUANTIFICADOR EXISTENCIAL ÚNICO (existe un único…): se utiliza para indicar que existe exactamente un elemento en el conjunto A que cumple con una condición o propiedad determinada.

NEGACIÓN DE PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES

Sea p(x) una función proposicional con extensión A, entonces:

Operaciones entre conjuntos

·         Unión o reunión de conjuntos.

     Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B estará formado por todos los elementos de A y con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪∪. (CONOCE300)

.

    Ejemplo.

     Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será    A∪∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

·         Intersección de conjuntos.

     Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, será excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩∩. (CONOCE300)

   Ejemplo.

     Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos será A∩∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

an>Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será     A∪∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

·         Diferencia de conjuntos.

     Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: usa para la resta o sustracción, que es el siguiente:

  Ejemplo.

     Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

·        Diferencia de simétrica de conjuntos.

     Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el siguiente: △. (CONOCE300)

Ejemplo.

Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos conjuntos será A△ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

·        Complemento de un conjunto.

     Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que esta incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A. En esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el  conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento. (CONOCE300)

Ejemplo.

     Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={3,4,5,6,7,8}, el conjunto A' estará formado por los siguientes elementos A'={1,2,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente: nte:

Relaciones

En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio , con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango , de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango. 

Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.

De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones , pero no todas las relaciones son funciones.

También debemos agregar que toda ecuación es una Relación , pero no toda ecuación es una Función.

Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano.

Ver: Plano Cartesiano

Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas ( par ordenado ) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B

Ejemplo 1.

Si A = {2, 3}  y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B.

Solución

El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados:

A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}

Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B:

R1 =  {(2, 1), (3, 1)}

R2 =  {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

R3 =  {(2, 4), (3, 5)}

La relación R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1, esto es, R1 =  {( x , y ) / y = 1}.

La relación R2 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente, R2 = {( x , y ) / x < y }

Y la relación R3 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos unidades mayor que el primer componente, dicho de otro modo, R3 =  {( x , y ) / y = x + 2}

Así, se puede continuar enumerando relaciones definidas a partir de A x B. Como se puede ver, la regla que define la relación se puede escribir mediante ecuaciones o desigualdades que relacionan los valores de x e y . Estas reglas son un medio conveniente para ordenar en pares los elementos de los dos conjuntos.

Ejemplo 2.

Dados los conjuntos C = {1, –3} y D = {2, 3, 6}, encontrar todos los pares ordenados ( x , y ) que satisfagan la relación

R =  {( x , y ) / x + y = 3}

Solución

El producto cartesiano de C x D está formado por los siguientes pares ordenados

C x D = {(1, 2), (1, 3), (1, 6),  (–3, 2), (–3, 3),  (–3, 6)}

Las parejas ordenadas que satisfacen que la suma de sus componentes sea igual a 3 son:

R =  {(1, 2), (–3, 6)}

Toda relación queda definida si se conoce el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la regla mediante la cual se asocian los elementos. En el ejemplo anterior, el conjunto de partida corresponde al conjunto C , el conjunto de llegada es el conjunto D y la expresión x + y = 3 es la regla que asocia los elementos de los dos conjuntos.

Dominio y rango de una relación

El dominio de una relación es el conjunto de preimágenes ; es decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que están relacionados. Al conjunto de imágenes , esto es, elementos del conjunto de llegada que están relacionados, se le denomina recorrido o rango .

Ejemplo 3

Sea A = {1, 2, 3, 4}  y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla “ y es el doble de x ” o  “ y = 2 x ”, encontrar dominio y rango de la relación.

Solución

El total de pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es:

A x B =  {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}

Pero los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x) son solo:

R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}

En esta relación vemos que: “4 es el doble de 2”; esto es, “4 es la imagen de 2 bajo R”, dicho de otro modo, “2 es preimagen de 4”.

Así, el dominio y rango son:

D = {2, 3, 4}

Rg = {4, 6, 8}

Según lo que vemos, ¿Qué relación hay entre el Dominio y el conjunto de partida?

En el Dominio falta el elemento 1 del conjunto de partida, por lo tanto el Dominio es un subconjunto de A.

Otra pregunta: ¿Todo elemento del conjunto de llegada es elemento del rango?

La respuesta es no, pues en el rango faltan el 5 y el 7.

Representación gráfica de las relaciones

Los pares ordenados se pueden representar gráficamente por medio de diagramas sagitales o por medio de puntos en el plano cartesiano . Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4

Si  A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y  R la relación definida por la regla

R = {( x , y ) / y = 2 x + 1}, graficar  R.

Solución

Los pares ordenados que pertenecen  a la relación (que cumplen con y = 2x + 1) son:

R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}

Y la gráfica correspondiente es la siguiente: