Matrices y Sistemas de Ecuaciones

Matrices

Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño).

Existen diversos tipos y clasificaciones de matrices:

Matriz cuadrada

Se dice que una matriz A es cuadrada si tiene el mismo número de filas que de columnas. Ejemplos de matriz cuadrada:

Puede ser una matriz con valores ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{3\times 3}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}+4&+7&-9\\+2&+1&+7\\-5&+6&+9\end{bmatrix}}}$

O también una matríz con subíndices (Genérica)${\displaystyle B\in {\mathcal {M}}_{3\times 3}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{bmatrix}}}$

Puede ser de otro tamaño e incluso con variables ${\displaystyle C\in {\mathcal {M}}_{4\times 4}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}+7&+6&6&-5\\+8&(3*w)&+3&-1\\-1&+6&(w+8)&+8\\-3&(6-w)&0&-6\end{bmatrix}}}$

Se llama diagonal principal de una matriz A a la diagonal formada por los elementos ${\displaystyle aii}$.
Se llama diagonal secundaria a la diagonal del cuadrado que no es la principal, tiene por extremos los elementos ${\displaystyle a_{1,n}}$ y ${\displaystyle a_{n,1}}$, como características, todos los elementos tienen la particularidad que sus subíndices suman (n+1), por ejemplo ${\displaystyle a_{8,n-7}}$, donde 8 + (n - 7 ) = n + 1.

Matriz Rectangular

Es aquella matriz que no es cuadrada, esto es que la cantidad de filas es diferente de la cantidad de columnas.
Puede ser de dos formas; vertical u horizontal.

Matriz Vertical

Es aquella que tiene más filas que columnas.

Matriz Columna

Caso especial de matriz vertical que posee una sola columna.

Matriz Horizontal

Es aquella que tiene más columnas que filas.

Matriz Fila

Caso especial de matriz horizontal que posee una sola fila.

Matriz Diagonal

Se llama diagonal principal de una matriz A a la diagonal formada por los elementos aij.

Matriz diagonal, matriz cuadrada donde sus elementos ${\displaystyle a_{ij}=0}$ si ${\displaystyle i\neq j}$.
La matriz identidad es una matriz diagonal. Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas o valores son todos nulas salvo en la diagonal principal, y éstos incluso pueden ser nulos o no. Otra forma de decirlo es que es diagonal si todos sus elementos son nulos salvo algunos de la diagonal principal. Ejemplos de matrices Diagonales:

Puede ser una matriz con valores ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{3\times 3}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}+4&0&0\\0&+1&0\\0&0&+9\end{bmatrix}}}$

O también una matríz con subíndices (Genérica)${\displaystyle B\in {\mathcal {M}}_{3\times 3}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}b_{11}&0&0\\0&b_{22}&0\\0&0&b_{33}\end{bmatrix}}}$

Puede ser de otro tamaño e incluso con variables ${\displaystyle C\in {\mathcal {M}}_{4\times 4}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}+7&0&0&0\\0&(3*w)&0&0\\0&0&(w+8)&0\\0&0&0&-6\end{bmatrix}}}$

Matriz Escalonada

Es toda matriz en la que el número de ceros que precede al primer elemento no nulo, de cada fila o de cada columna, es mayor que el de la precedente.
Puede ser escalonada por filas o escalonada por columnas.

Matriz Triangular superior

Se dice que una matriz (cuadrada) es triangular superior si todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz Triangular inferior

Se dice que una matriz es triangular inferior si todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz Identidad

Se llama matriz identidad de orden n y se nota In a una matriz cuadrada de orden n en la que los elementos de la diagonal principal son 1 y el resto 0.
${\displaystyle I_{3}\in {\mathcal {M}}_{3\times 3}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

La matriz identidad puede ser de cualquier tamaño, siempre y cuando sea cuadrada

Matriz Nula o Matriz Cero

Una matriz cero o matriz nula es una matriz con todos sus elementos nulos, o sea de valor cero. Algunos ejemplos de matrices nulas son:

${\displaystyle 0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},etc.\ }$

Por lo tanto, una matriz nula de orden mxn asume la forma:

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}_{m\times n}}$

Una matriz cero es, al mismo tiempo,matriz simétrica, antisimétrica, nilpotente y singular.

Matriz Opuesta

Teniendo una matriz determinada, se llama matriz opuesta de la antes mencionada a aquella que tiene por elementos los opuestos de los elementos de la matriz original.

Matriz Traspuesta

Matriz traspuesta (At). Se llama matriz traspuesta de una matriz A a aquella matriz cuyas filas coinciden con las columnas de A y las columnas coinciden con las filas de A.

• Para una matriz ${\displaystyle A\in M_{m\times n}(\mathbb {R} )}$, se define la matriz transpuesta de ${\displaystyle A=(a_{ij})}$, denotada por ${\displaystyle A^{t}\in M_{n\times m}(\mathbb {R} )}$, como ${\displaystyle A^{t}=B=(b_{ij})\quad b_{ji}=a_{ij}\quad \forall i\in \{1,2,\dots ,m\}{\text{ , }}j\in \{1,2,\dots ,n\}}$. Es decir, las filas de la matriz ${\displaystyle A}$ corresponden a las columnas de ${\displaystyle B}$ y viceversa.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}},\ A^{t}={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}\ }$

Matriz Simétrica

Una matriz es simétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a su traspuesta.

Matriz Antisimétrica

Una matriz es antisimétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a su traspuesta de signo opuesto, siendo los elementos de la diagonal principal nulos; de valor cero.

Matriz Ortogonal

Una matriz ortogonal es una matriz cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta.

Matriz Normal

Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y sólo si

${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}\,}$

donde A^* es la matriz traspuesta conjugada de A (también llamado hermitiano)

Matriz Conjugada

Una Matriz conjugada es el resultado de la sustitución de los elementos de una matriz ${\displaystyle A}$ por sus valores conjugados. Es decir, la parte imaginaria de los elementos de la matriz cambian su signo.

Ejemplo de matrices conjugadas

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}2-5i&3-5i&3-i\\4+3i&4&2+i\\1&3+2i&1-4i\end{pmatrix}},{\overline {B}}={\begin{pmatrix}2+5i&3+5i&3+i\\4-3i&4&2-i\\1&3-2i&1+4i\end{pmatrix}}}$

Matriz Invertible

También llamada matriz , no singular, no degenerada, regular.

Una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A⁻¹, tal que

AA⁻¹ = A⁻¹A = I_n,

donde I_n es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual. Una matriz tiene inversa siempre que su determinante no sea cero.

La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

Matriz Singular o Degenerada

También llamada no regular. Una matriz es singular si y solo si su determinante es cero.

Matriz Permutación

La matriz permutación es la matriz cuadrada con todos sus n×n elementos iguales a 0, excepto uno cualquiera por cada fila y columna, el cual debe ser igual a 1.

Matrices iguales

Se dice que dos matrices A y B son iguales si tienen la misma dimensión y son iguales elemento a elemento, es decir, aij=bij i=1,...,n j=1,2,...,m.

Matriz Hermitiana

Una matriz Hermitiana (o Hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j.

Matriz definida positiva

Una matriz definida positiva es una matriz hermitiana que en muchos aspectos es similar a un número real positivo.

Matriz Unitaria

Es una matriz compleja U, de n por n elementos, que satisface la condición:

${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I_{n}\,}$

donde ${\displaystyle I_{n}\,}$ es la matriz identidad y ${\displaystyle U^{*}\,}$ es el traspuesto conjugado (también llamado el hermitiano adjunto o la hermítica) de U. Esta condición implica que una matriz Ues unitaria si tiene inversa igual a su traspuesta conjugada ${\displaystyle U^{*}\,}$.

Una matriz unitaria en la que todas las entradas son reales es una matriz ortogonal.

Submatriz

A partir de una Matriz M, se llama submatriz M' a toda matriz obtenida suprimiendo p filas y q columnas en M. Si M es de orden mxn, M' será de orden (m-p)x(n-q), es decir con p filas menos y q columnas menos. Es evidente que p < m ; q < n

Operaciones con Matrices

Sumar y restar matrices

Para sumar y restar matrices, éstas pueden ser, las dos cuadradas o las dos rectangulares. El número de filas y columnas de una han de ser igual al número de filas y columnas de la segunda.

Sumar:

Sumamos los valores que ocupan la misma posición.

El valor que se halla en la posición (1  1) de A con el valor de la posición (1   1) de la matriz B.

El valor que se halla en la posición (1  2) de A con el valor de la posición (1   2) de la matriz B.

El valor que se halla en la posición (1  3) de A con el valor de la posición (1   3) de la matriz B. De este modo haremos con el resto de las filas.

Vamos a sumar las matrices A y B:

Restar matrices:

Es lo mismo que en el caso anterior pero restando los valores que ocupan las mismas posiciones:

 

 

Ejercicio #8 ¿Cuánto vale:

 Respuesta:

Multiplicar matrices:

Vamos a considerar 2 casos:

1) Multiplicar una matriz por un escalar

Multiplicamos cada elemento por el escalar:

2) Multiplicar dos matrices es preciso que la 1ª tenga tantas columnas como filas la 2ª matriz. El resultado será una matriz que tiene el mismo número de filas como tiene la 1ª y tantas columnas como tiene la 2ª:

Multiplicamos las matrices:

Tenemos que multiplicar el primer elemento de la 1ª fila de A (3) por el primer elemento de la fila de B (2).

El segundo elemento de la fila 1ª de A (2) por el 2º elemento de la fila de B (-4).

El tercer elemento de la 1ª fila de A (6) por el tercer elemento de la fila de B (6).

Hago lo mismo con los elementos de la 2º fila de A:

Multiplico el primer elemento de la 2ª fila de A (– 2) por el primer elemento de la fila de B (2).

El segundo elemento de la fila 2ª de A (4) por el 2º elemento de la fila de B (-4).

El tercer elemento de la 2ª fila de A (6) por el tercer elemento de la fila de B (6).

Quizá te resulte algo complicado la operación de multiplicar.

Posiblemente te ayude saber:

1) Sólo se pueden multiplicar matrices cuando el número de columnas del multiplicando coincide con el de filas del multiplicador.

2) Un procedimiento sencillo de llevar a cabo esta operación es colocar cada fila del multiplicando en forma de columna y colocarla enfrente del multiplicador y hacer el producto de los elementos que hallen uno frente al otro:

Ejemplo:

Y lo mismo con la 2ª fila que sería:

3)  El resultado de un producto de matrices es una matriz con el número filas igual al multiplicando y el número de columnas igual a las que tiene el multiplicador.

Los determinantes tienen las siguientes propiedades que son útiles para simplificar su evaluación.

En los párrafos siguientes consideramos que  A  es una matriz cuadrada.

Propiedad 1.

Si una matriz  A  tiene un renglón (o una columna) de ceros, el determinante de A es cero.

Ejemplo 1.

            Sea  

Desarrollando por cofactores del primer renglón se tiene

                      

Propiedad 2.

El determinante de una matriz  A   es  igual al determinante de la transpuesta de  A.

 Esto es

                                                 

Ejemplo 2.

                      Sea       

La transpuesta de A  es          

Propiedad 3.

Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matriz  A entonces el determinante cambia de signo.

Ejemplo 3.

Sea            con      

Intercambiando los renglones  1  y  2   la matriz queda

           con     

Note que los determinantes se calcularon expandiendo por cofactores de la primera columna.

Propiedad 4.

Si una matriz  A  tiene dos renglones (o dos columnas) iguales  entonces   det A = 0.

Ejemplo 4.

Sea           entonces  

Propiedad 5.

Cuando un solo renglón (o columna) de una matriz  A  se multiplica por un escalar  r  el determinante de  la matriz  resultante es  r  veces el determinante de  A,   r det A.

Ejemplo 5.

Sea       cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,  

Multiplicando el tercer renglón de A por el escalar  r = 3 se tiene la matriz  B siguiente

                                                

cuyo determinante, desarrollado por cofactores de la primera columna de B es     

       

Propiedad 6.

Si un renglón de la matriz  A  se multiplica por un escalar  r   y se suma a otro renglón  de A,  entonces el determinante de la matriz resultante es igual  al determinante de A,  det A.   Lo mismo se cumple para las columnas de A.

Ejemplo 6.

Sea       cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,  

Multiplicando la segunda columna de A por el escalar  2  y sumándola a la columna 3 se obtiene la matriz B siguiente

  

                      

Expandiendo por cofactores de la primera columna se tiene

        

Propiedad 7.

Si  A  y  B  son matrices de , el determinante del producto AB es igual al producto de los determinantes de A y de B.

Esto es

                                              

Ejemplo 7.

Sean           y           

con       y      

 El producto      

Y su determinante  es     

Entonces     .

Propiedad 8.

El determinante de la matriz identidad I es igual a 1 (uno)

Ejemplo 8.

I =                   det I = (1)(1) – (0)(0) = 1

Propiedad  9.

El determinante de una matriz singular, es decir, que no tiene inversa, es igual a 0 (cero)

Ejemplo 9.

J =           |J| = (1)(-12) – (-3)(4) = -12 +12 = 0

Se puede fácilmente comprobar que la matriz J no tiene inversa.

Uso de las propiedades para calcular determinantes de alto orden.

Al utilizar las operaciones elementales sobre renglones, se puede reducir un determinante a una forma mas fácil de evaluar.  Si se reduce a una forma triangular superior o inferior, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.  Al hacerlo hay que tomar en cuenta las propiedades 3,  5  y  6,  como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 10.

Calcular el determinante de la matriz  A  de  

                  

Simplificamos el cálculo del determinante de A  reduciendo por renglones

      

Entonces, la permutación P₁₄  cambia el signo de  det A , las operaciones    y      no  cambian el valor del determinante.

De esta forma

                         

Se podría seguir reduciendo a la forma triangular, pero observando que hay varios ceros en el tercer renglón resulta fácil desarrollar por cofactores, primero de la primera columna, y después del tercer renglón:

              

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Método de reducción

Consiste en multiplicar ecuaciones por numeros y sumarlas para reducir el número de incognitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incognita.

Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número que no existe esto lo hizo molotov.

Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho ( izquierdo ) es la suma de los miembros derechos ( izquierdos ) de las ecuaciones que se suman por algo que sabe venom.

Ejemplo

Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones

 15x - 9y = 1

 -15x + 20y = 5

Al sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación 

La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la  desaparezca al sumar ambas ecuaciones.

Sutituyendo  por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene

que es otra ecuación con una sola incognita y cuya solución es   .

Método de igualación

El método de igualación consiste en lo siguiente:

Supongamos que tenemos dos ecuaciones:

donde , , y  representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ).

De las dos igualdades anteriores se deduce que

Si resulta que una incognita del sistema de ecuaciones no aparece ni en  ni en , entonces la ecuación

no contendría dicha incognita.

Este proceso de eliminación de incognitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incognita, digamos  .

Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye  por su solución en otras ecuaciones dode aparezca  para reducir el número de incognitas en dichas ecuaciones.

Ejemplo

El sistema de ecuaciones

es equivalente a este otro

El segundo sistema lo he obtenido pasando los terminos en  del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.

Del segundo sistema se deduce que

que es una ecuación con una sola incognita cuya solución es   .

Sustituyendo  por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que

que es una ecuación con una sola incognita y cuya solución es   .

Método de sustitución

Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Entonces podemos despejar  en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación:

Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incognitas que las de partida.

Aqui      y      son expresiones algebraicas de las incognitas del sistema.

Ejemplo

Intentemos resolver

La primera ecuación se puede reescribir de la forma

Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que

Sustituyendo      por  en

se tiene que

que es una ecuación con solo una incognita y cuya solución es .

Sustituyendo  por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuación de una sola incognita

cuya solución es   .

Método de Gauss

Gauss es uno de los matematicos mas importantes de todos los tiempos. ¡Fue un GENIO!

El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy facil de resolver.

Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incognitas porque al ir los coeficientes de una misma incognita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incognita a la que multiplican.

Ejemplo

La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

es:

Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:

Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuación la primera.

Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas ( ecuaciones ), obtenemos la siguiente matriz triangular superior:

que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

que es equivalente al inicial.

Solucionamos la tercera ocuacion para obtener     :

En la primera y segunda ecuación, sustituimos      por la solucion de la tercera ecuación   (      ), para obtener:

La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incognita,    , que resolvemos para obtener    .   Sustituimos, en la primera ecuación,     por 1   (      ). Esto nos da una ecuación en     :

que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:

Método de la matriz inversa

Un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en forma matricial:

Si      existe, es decir, si      es una matriz cuadrada de determinante no nulo, entonces podemos multiplicar toda la igualdad anterior por la izquierda por    , para obtener:

que es la solución del sistema de ecuaciones lineales de matriz de coeficientes      y matriz de terminos independientes    .

Regla de Cramer

Gabriel Cramer nacio Ginebra ( Suiza ) 1704 y murio en 1752. A él le debemos la regla que lleva su nombre. ¡Gracias Gabriel por tu contribución a las Matemáticas!

Esta regla es un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede utilizar cuando la matriz      de coeficientes del sistema es cuadrada y de determinante no nulo. El que      sea cuadrada significa que el numero de incognitas y el numero de ecuaciones coincide.

Cuando el sistema de ecuaciones

satisface las condiciones arriba mencionadas, su solución viene dada por:

En general

donde      es la matriz que se obtiene sustituyendo la i-esima columna de      por la matriz de los terminos independientes,     .

Ejemplo

Consideremos el sistema de ecuaciones:

En este sistema de ecuaciones lineales, la matriz      de los coeficientes es una matriz cuadrada y    . Por lo tanto, podemos aplicar la regla de Cramer para resolverlo: