Números Reales

Conjuntos Numéricos

Aquí se listan los principales conjuntos de números. Su conocimiento es indispensable para un dominio básico del Álgebra y el Cálculo.

${\displaystyle \mathbb {C} {\mbox{ Complejos}}{\begin{cases}\mathbb {R} &{\mbox{Reales}}{\begin{cases}\mathbb {Q} &{\mbox{Racionales}}{\begin{cases}\mathbb {Z} &{\mbox{Enteros}}{\begin{cases}\mathbb {N} &{\mbox{Naturales}}{\begin{cases}1&{\mbox{Uno}}\\&{\mbox{Primos}}\\&{\mbox{Compuestos}}\end{cases}}\\0&{\mbox{Cero}}\\&{\mbox{Enteros negativos}}\end{cases}}\\\\&{\mbox{Fraccionarios}}{\begin{cases}{\mbox{Exactos}}\\{\mbox{Periódicos}}{\begin{cases}{\mbox{Puros}}\\{\mbox{Mixtos}}\end{cases}}\\\end{cases}}\\\end{cases}}\\\\&{\mbox{Irracionales}}\end{cases}}\\\\&{\mbox{Imaginarios}}\end{cases}}}$

Números naturales

La exigencia y oportunidad de contar derivó necesariamente en la invención y el uso de los llamados actualmente números naturales. Aparecen en una gama de sistemas de numeración, en principio de carácter oral. Son los números más simples de los que hacemos uso, el conjunto de ellos se denota por ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Entre estos números, en sucesión ascendente en representación indo-arábiga, son : 1,2,3,4,5... Se denominan también números enteros positivos.

${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,4,...\}}$

Sin embargo, José Peano en una de sus versiones, y Paul Halmos, entre otros, consideran el 0 (cero) como número natural. Que responde al número de alumnos en un aula vacía, entre infinidad de casos.^[1]

Números Enteros

La insuficiencia de los números naturales para contar deudas o temperaturas por debajo de cero lleva directamente a los números enteros. Se denotan por ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ y estan formados por los números naturales, sus inversos aditivos y el cero. El conjunto de los números enteros incluye a los naturales, ${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} }$.

${\displaystyle \mathbb {Z} =\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...\}}$.

.

Números Racionales

La insuficiencia de los números enteros para denominar partes de unidad lleva directamente a los números racionales. Se denotan por ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ y son todos aquellos que se pueden expresar de la forma ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ donde ${\displaystyle {p}}$ y ${\displaystyle {q}}$ son enteros y ${\displaystyle q\neq 0}$. Estos pueden ser enteros (en el caso en que ${\displaystyle q=1}$), decimales finitos o decimales infinitos periódicos. El conjunto de los números racionales incluye a los enteros, ${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} }$.

${\displaystyle \mathbb {Q} =\{x={\frac {p}{q}}:p,q\in \mathbb {Z} ,q\neq 0\}}$

Números Irracionales

La insuficiencia de los racionales al intentar encontrar la medida exacta de la diagonal de un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1 lleva a los números irracionales. Se denotan por ${\displaystyle \mathbb {I} }$A veces se denota por ${\displaystyle \mathbb {I} }$ al conjunto de los números irracionales. Esta notación no es universal y muchos matemáticos la rechazan. Las razones son que el conjunto de números irracionales no constituyen ninguna estructura algebraica, como sí lo son los naturales (${\displaystyle \mathbb {N} }$), los enteros (${\displaystyle \mathbb {Z} }$), los racionales (${\displaystyle \mathbb {Q} }$), los reales (${\displaystyle \mathbb {R} }$) y los complejos (${\displaystyle \mathbb {C} }$), por un lado, y que la ${\displaystyle \mathbb {I} }$ es tan apropiada para designar al conjunto de números irracionales como al conjunto de números imaginarios.

Números Reales

El conjunto de los números reales es la unión entre el conjunto de los números racionales y los irracionales:

${\displaystyle \mathbb {R} =\mathbb {Q} \cup \mathbb {I} }$.

Números Complejos

La insuficiencia de los números reales para denotar raíces de polinomios como ${\displaystyle x^{2}+1\,\!}$ lleva a la concepción de los números complejos. Se denotan por ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Las raíces del polinomio anterior son ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ y ${\displaystyle -{\sqrt {-1}}}$, de manera que definimos el número ${\displaystyle i\,\!}$ para poder trabajar con sus raíces solucionar este problema, de manera que: ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$. Todos los números complejos (también se les llama imaginarios) tienen la forma:

${\displaystyle z=a+bi\,\!}$ donde ${\displaystyle a\,\!}$ y ${\displaystyle b\,\!}$ son números reales. Denominamos a ${\displaystyle a\,\!}$ parte real del complejo y a ${\displaystyle bi\,\!}$ parte imaginaria.

Cuando ${\displaystyle b=0\,\!}$, z es un número real, y cuando ${\displaystyle a=0\,\!}$, z es un número imaginario puro.

De aquí deducimos que los números reales están incluídos dentro del conjunto de los complejos, o lo que es lo mismo:

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \cup \mathbb {I} =\mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$

Estos números se suelen representar como vectores en un gráfico donde el eje x es la parte real del número y el eje y es la parte imaginaria. Como se pueden tratar como vectores, se pueden expresar principalmente de dos formas, en forma binómica y de forma polar.

Así podemos deducir que la suma de complejos cumple la regla del paralelogramo, es decir:

${\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\,\!}$

El producto de complejos es:

En forma binómica:

${\displaystyle zw=(a+bi)(c+di)=ac+adi+cbi+bidi=(ac-bd)+(ad+cb)i\,\!}$

En forma polar:

${\displaystyle r_{\alpha }s_{\beta }=(rs)_{\alpha +\beta }\,\!}$

El cociente de complejos es:

En forma binómica:

${\displaystyle {\frac {z}{w}}={\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}i}$

En forma polar:

${\displaystyle {\frac {r_{\alpha }}{s_{\beta }}}=(rs)_{\alpha -\beta }\,\!}$

La raíz enésima de un complejo es:

En forma polar:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r_{\alpha }}}=({\sqrt[{n}]{r}})_{\frac {\alpha +2\pi k}{n}},k=0,1,2,3,...,n-1}$

Las raíces enésimas de un complejo son los vértices del polígono regular de n lados.

Ejercicios

Operaciones Con Números Reales

Adición de Números Reales

En la adición de números reales, los términos que intervienen son los sumandos y el resultado, donde el orden de los sumandos no altera el resultado.

a+b=b+a

a+b=b+a

al ser, los números reales, un conjunto que incluye los números negativos, la suma de negativos es posible, sin tener que recurrir a otro conjunto de números. Entonces, las sumas se pueden realizar como:

a+(−b)=(−b)+a=−b+a

a+(−b)=(−b)+a=−b+a

Por ejemplo, podemos tomar los dos sumandos, 

7

$7$  y 

−11

$-11$. El orden de estos, al sumarlos, no va a alterar el resultado, ya que se trata al sumando como un término en su valor absoluto. Pero si se lo tomara por su valor relativo, no se podría sumar 7+11 o 11+7 y esperar el mismo resultado que:

7+(−11)=−11+7=−4

7+(−11)=−11+7=−4

En este caso, el resultado es negativo, ya que el sumando con valor negativo es mayor que el término con valor positivo.

Imagen: Operaciones Con Números Reales

Sustracción de Números Reales

A pesar de que todas las operaciones de sustracción de números reales pueden ser expresadas como sumas, como se podía ver en el ejemplo anterior, también en la sustracción existen reglas para evitar confusiones. Pues, los términos que intervienen en esta operación, son el sustraendo, el minuendo y el resultado. El sustraendo siempre va primero, el minuendo va siempre después, logrando que el orden de los términos si acabe por afectar al resultado.

a−b≠b−a

a−b≠b−a

Donde 

a+(−b)

$a+(-b)$  si es igual a 

(−b)+a

$(-b)+a$. Por lo cual, para poder cambiar de orden a los términos de una resta, se debe usar el inverso aditivo o el negativo del sustraendo para que de esta manera no se vaya a alterar el resultado.

Multiplicación de números Reales

En la multiplicación de números reales, los términos son los factores y el producto o resultado. En esta operación, los factores no alteran el producto, sin embargo, existen otras reglas para multiplicar cuando se tienen números negativos.

Al multiplicar dos factores con el mismo signo positivo, la respuesta será la misma multiplicación, sin cambios.

a×b=c

a×b=c

Pero al multiplicar dos factores con signo negativo, el cambio se dará bajo la regla de:

+⋅+=+

+⋅+=+

+⋅−=−

+⋅−=−

−⋅+=−

−⋅+=−

−⋅−=+

−⋅−=+

Por lo tanto, si tenemos dos factores con signo negativo, la regla sería.

−a×−b=c

−a×−b=c

Si se calcula dos factores, ambos con signo diferente, uno positivo y otro negativo, entonces la respuesta va a ser negativa.

a×−b=−c

a×−b=−c

−a×b=−c

−a×b=−c

Al operar con varios factores de signos variados, se debe contar la cantidad de factores con signo negativo. Si hay un número par, el resultado es positivo. Si hay un número impar, el resultado es negativo.

a×−b×−c=d

a×−b×−c=d

a×−b×c=−d

a×−b×c=−d

Si se multiplica por 1, cualquier factor daría como resultado el mismo factor.

a×1=a

a×1=a

Si se multiplica por cero, el resultado será cero.

a×0=0

a×0=0

División de números Reales

En la división de números reales, se aplican las mismas reglas de signos que en la multiplicación. Y en las fracciones, si uno de los dos términos tienen signo negativo, toda la fracción se convierte en un número negativo.

a−b

=

−ab

=−

ab

a−b=−ab=−ab

Sin embargo, la división solo se puede realizar entre números mayores o menores que cero, mas no el mismo cero, ya que el resultado no está definido en estos casos.

Potenciación de números Reales

La potenciación tiene varias reglas como:

a0

=1

a0=1

a1

=a

a1=a

Multiplicación y división de potencias con la misma base.

am

×

an

=

am+n

am×an=am+n

am

÷

an

=

am−n

am÷an=am−n

Potencia de potencia.

(

am)n

=

am×n

(am)n=am×n

Multiplicación y división de potencias con el mismo exponente.

an

×

bn

=(a×b

)n

an×bn=(a×b)n

an

÷

bn

=(a÷b

)n

an÷bn=(a÷b)n

Propiedades de Números Reales

Todo número real tiene su inverso, es decir que 8 tiene su inverso -8 así como 

π

$\pi$   tiene a -

π

$\pi$ .

El valor absoluto de un número real está marcado por su posición en la recta numérica en relación al cero. Si se encuentra a la derecha del cero, significa que es mayor que 0 y por lo tanto su signo es positivo. Si, por el contrario, se encuentra a la izquierda del cero, su valor es negativo, porque es menor que 0.

Existen otras reglas como la de que no existen raíces de orden par en los números reales para los negativos, ya que su respuesta sería indefinida. Las raíces cuadradas, cuartas, sextas, etcétera, están definidas dentro del conjunto de números complejos y por lo tanto se excluyen de esta clasificación.

Ejercicios

Expresiones Algebraicas

Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas.

Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

Conceptos básicos que debes saber

 

Se llama: Término.Un Término separamos de otro, con los signos más o menos:

Un Término consta de dos partes: coeficiente y factor literal. Coeficiente: Es el número que va delante de las letras (si no lleva ninguna cifra,  recuerda que lleva el 1).

Factor Literal: Es la compuesta por letras con sus exponentes, si los tienen.

  Tipos de expresiones algebraicas

monomio	binomio	trinomio
3x	2x + 4	X2 + x + 5

Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo término. Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término:

Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos. Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos:

Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos. Ejemplo:

Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se llaman 

Polinomios.

 Operaciones con monomios

• 1. Suma de monomios

Sólo podemos sumar monomios semejantes.

La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

axn + bxn= (a + b)x n

Ejemplo:  2x2y3z + 3x2y3z = (2 + 3)x2y3z = 5x2y3z Si los monomios no son semejantes, al sumarlos, se obtiene un polinomio.

Ejemplo:  2x2y3+ 3x2y3z

Ejemplo:  2x2y3+ 3x2y3z

2. Producto de un número por un monomio El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente del monomio por el número.

Ejemplo:  5 · (2x2y3z) = 10x2y3 z

3. Multiplicación de monomios

La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base.

axn· bxm= (a · b)xn + m Ejemplo:  (5x2y3z) · (2y2z2) = (2 · 5) x2y3+2z1+2 = 10x2y5z3

4. División de monomios Sólo se pueden dividir monomios cuando:

• 1. Tienen la misma parte literal
• 2. El grado del dividendo es mayor o igual que el del divisor

La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tengan la misma base.

axn: bxm= (a : b)xn – m Ejemplo: 

Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.

Ejemplo: 

5. Potencia de un monomio Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de este, al exponente que indique la potencia.

(axn)m = am· xn · m Ejemplos:  (2x3)3 = 23 · (x3)3= 8x9 (-3x2)3 = (-3)3 · (x2)3= -27x6

 Polinomios Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2+ .. + a1 1 + a0 Siendo:

an, an-1 ... a1, aonúmeros, llamados coeficientes n un número natural x la variable o indeterminada anes el coeficiente principal aoes el término independiente

Grado de un Polinomio El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Según su grado los polinomios pueden ser de:

Tipos de polinomios

• 1. Polinomio nulo

Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.

P(x) = 0x2 + 0x + 0

• 2. Polinomio homogéneo

Es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado.

P(x) = 2x2 + 3xy

• 3. Polinomio heterogéneo

Es aquel polinomio en el que no todos sus términos no son del mismo grado.

P(x) = 2x3 + 3x2 - 3

• 4. Polinomio completo

Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3

• 5. Polinomio incompleto

Es aquel polinomio que no tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x3 + 5x - 3

• 6. Polinomio ordenado

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado o inversamente.

P(x) = 2x3 + 5x - 3

• 7. Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si verifican:

Los dos polinomios tienen el mismo grado.

Los dos polinomios tienen el mismo grado.

P(x) = 2x3 + 5x - 3 Q(x) = 5x3 - 2x - 7

• 8. Polinomios semejantes

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 2x3 + 5x - 3 ; x = 1 P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4

Valor numérico de un polinomio Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 2x3+ 5x - 3 ; x = 1 P(1) = 2 · 13+ 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4

Polinomios iguales Dos polinomios son iguales si verifican:

• Los dos polinomios tienen el mismo grado.
• Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

P(x) = 2x3 + 5x - 3 Q(x) = 5x - 3 + 2x3

Polinomios semejantes Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal. P(x) = 2x3 + 5x - 3 Q(x) = 5x3 - 2x – 7

Operaciones con expresiones algebraicas

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. P(x) = 2x3 + 5x - 3      Q(x) = 4x - 3x2 + 2x3 1. Ordenamos los polinomios, si no lo están. Q(x) = 2x 3- 3x2 + 4x P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x - 3) + (2x3 - 3x2+ 4x) 2. Agrupamos los monomios del mismo grado. P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 - 3 x2 + 5x + 4x - 3 3. Sumamos los monomios semejantes. P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 - 3 x2 + 5x + 4x - 3 También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar. P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2       Q(x) = 6x3 + 8x +3 P(x) + Q(x) = 7x4 + 6x3 + 4x2 + 15x + 5

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo. P(x) - Q(x) = (2x3 + 5x - 3) - (2x3 - 3x2 + 4x) P(x) - Q(x) = 2x3 + 5x - 3 - 2x3 + 3x2 - 4x P(x) - Q(x) = 2x3 - 2x3 + 3x2 + 5x - 4x - 3 P(x) - Q(x) = 3x2 + x – 3

Multiplicación de Polinomios

1. Multiplicación de un número por un polinomio Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número y dejando las mismas partes literales.

Ejemplo:  3 · (2x3 - 3x2 + 4x - 2) = 6x3 - 9x2 + 12x - 6

2. Multiplicación de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

Ejemplo:  3x2 · (2x3 - 3x2 + 4x - 2) == 6x5- 9x4 + 12x3 - 6x2

3. Multiplicación de polinomios Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distitnas.

Mira la demostración con el siguiente ejemplo:

P(x) = 2x2 - 3       Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x

OPCIÓN 1

1. Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio. P(x) · Q(x) = (2x2 - 3) · (2x3 - 3x2 + 4x) = = 4x5 - 6x4 + 8x3 - 6x3+ 9x2 - 12x = 2. Se suman los monomios del mismo grado. = 4x5 - 6x4 + 2x3 + 9x2 - 12x 3. Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican. Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5

OPCIÓN 2 Ejemplo de división de polinomios

Para explicar la división de polinomios nos valdremos de un ejemplo práctico:

P(x) = x5 + 2x3 - x - 8         Q(x) = x2 - 2x + 1 P(x) :  Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo.

Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. x5 : x2 = x3

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x4 : x2 = 2 x2

Procedemos igual que antes.

5x3 : x2 = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x2 : x2 = 8

10x - 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x3 + 2x2 + 5x + 8 es el cociente

Ejercicio

Razones y Proporciones

• • 
    
 

Llamamos razón al cociente indicado de dos números:

 son razones que como ves, se tratan de divisiones que están indicadas, sin calcular su resultado.

Llamamos proporción a la igualdad de dos razones:

 Es una proporción porque tenemos igualadas dos razones;  es otra proporción porque tenemos la igualdad de dos razones.

La proporción:  se lee: ‘a’ ES‘b’ COMO’c’ES a ‘d’.

En la vida de cada día vemos que muchas cosas son proporcionales:

1) Velocidad de un automóvil con el consumo de gasolina (a más velocidad, mayor consumo de combustible).

2) Valor de un saco de patatas con los kilos que pesa (a más kilos mayor importe a pagar).

3) Precio de un billete de tren con la distancia a recorrer (cuanto más lejos vaya, más dinero pagaré por el billete).

Existen muchos otros ejemplos….

Los componentes de una proporción se llaman: Extremos y medios.

Los extremos, como su nombre indican son el primero y último términos de la proporción.

Los medios, los que están entre los dos anteriores; segundo y tercero términos.

En la proporción:, a y d son los extremos, b y c los

medios.

1) En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

2) El cociente de las dos fracciones de una proporción siempre son iguales.(Porque las fracciones son equivalentes)

Veamos la siguiente proporción: 

1) El producto de los extremos es: 

2) El producto de los medios es: 

El cociente de  son iguales.

Al cociente de las fracciones de una proporción se llama constante de proporcionalidad (muy útil para resolver problemas que tratan de repartos proporcionales).

6.36 ¿Crees que  y  forman una proporción?

Respuesta: Sí porque el producto de extremos es igual al producto de medios y porque se trata de fracciones equivalentes.

6.37  ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en ?

Respuesta:   

PROPORCIONES Y REGLA DE TRES:

Los problemas que hicimos utilizando la regla de tres, podemos resolverlos haciendo uso de las proporciones.

Proporcionalidad directa (regla de tres directa):

En una proporción en la que nos dan el valor de 3 datos, podemos calcular el cuarto de un modo muy simple. Veamos en un ejemplo:

6.38 Un vehículo recorre 300 kilómetros con 25 litros de gasolina. ¿Cuántos kilómetros podría recorrer con 200 litros?

Respuesta:

Solución:

Por regla de tres escribimos los datos conocidos:

Si la regla de tres es directa, cada pareja de datos, debidamente ordenados, los podemos escribir en forma de dos razones:

, como ves, en el mismo orden tal como los habíamos escrito en la regla de tres.

Colocamos estas dos razones en forma de proporción: 

Sabemos que en toda proporción el producto de extremos es igual al producto de medios: 

300200 = 25x

Para calcular el valor de x tenemos que pasar el número (25) que lo multiplica al otro lado del signo =, es decir, donde se encuentran 300200 pero cuando un dato pasa al otro lado del signo igual lo hace con el signo contrario al que tenía: si le sumaba a ‘x’ pasa restando, si estaba restando pasa sumando, si estaba multiplicando, pasa dividiendo y se le estaba dividiendo pasa multiplicando.

En el caso actual, 25 multiplica a ‘x’, luego, pasará dividiendo:

6.39 Una rueda da 1000 vueltas en 4 minutos ¿Cuántas vueltas dará en 1 hora?. Resuelve utilizando las proporciones:

Respuesta: 15000 vueltas.

Solución:Directamente establecemos la proporción: 

6.40 Con 30 € puedo comprar 2 camisas ¿cuántas podré comprar con 180 €? Resolverlo haciendo uso de las proporciones.

Respuesta: 12 camisas

Solución: 

6.41 Para construir 5 casas se han utilizado 22000 kilos de cemento. ¿Cuántas casas podremos hacer con 132000 kilos?

Respuesta: 30 casas