Trigonometría

Ángulos y medidas

El grado (º) es la unidad principal para medir la amplitud o abertura de un ángulo.

Para medir ángulos, utilizamos el transportador de ángulos o el semicírculo graduado.

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS SEGÚN SU ABERTURA

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN

El grado, el minuto y el segundo

El sistema de unidades para medir ángulos se llama sistema sexagesimal, porque 60 unidades de un orden forman una unidad del siguiente.

Para medir ángulos con mayor precisión se utilizan unidades menores que el grado: el minuto y el segundo.

Para pasar de forma compleja (varias unidades de medida) a forma incompleja (una sola unidad de medida) pasamos todas las unidades a la unidad que nos piden y después sumamos los resultados.

Para pasar de forma incompleja (una sola unidad de medida) a forma compleja (varias unidades de medida) vamos dividiendo entre sesenta sucesivamente como podemos ver en el ejemplo.

Suma de ángulos

Para sumar dos o más ángulos, en primer lugar sumamos los grados, los minutos y los segundos por separado (como si fueran tres sumas independientes).

Una vez tenemos el resultado debemos reducirlo teniendo en cuenta que 60 segundos son un minuto y 60 minutos forman un grado.

Dos ángulos son COMPLEMENTARIOS cuando su suma es 90º.

Dos ángulos son SUPLEMENTARIOS cuando su suma es 180º.

Resta de ángulos

Para restar dos ángulos se siguen los siguientes pasos:

Si al restar falta algún orden de unidades, se sustituye por ceros y después, se hacen los cambios de unidad que sean necesarios.

Multiplicación de ángulos

Para multiplicar un ángulo por un número natural se siguen los siguientes pasos:

Se multiplica el número natural por los segundos, los minutos y los grados, como si de tres multiplicaciones independientes se tratara.

Los resultados los debemos dar simplificados, es decir que los segundos y los minutos no puedes ser mayores de 60. Para ello:

Dividimos entre 60 los segundos. El cociente se lo sumamos a los minutos y el resto serán los segundos que nos quedan.

Dividimos entre 60 los minutos. El cociente se lo sumamos a los grados y el resto serán los minutos que nos quedan.

División de ángulos

​

Para dividir un ángulo por un número natural dividimos los grados entre ese número. Transformamos el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los que teníamos. Dividimos los minutos. Transformamos el resto de la división en segundos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los segundos que teníamos. Luego dividimos los segundos.

Funciones Trigonométricas Elementales

Las funciones trigonométricas.

Las funciones trigonométricas básicas son el seno y el coseno. El resto de las funciones trigonométricas se obtiene a partir de ellas. Comenzamos con una definición informal.

Un ángulo dirigido puede ser considerado como un par de semirrectas (l1,l2) con el mismo punto inicial. 

Si para l1 elegimos siempre la mitad positiva del eje horizontal, un ángulo dirigido vendrá descrito mediante la segunda semirrecta. Puesto que cada semirrecta corta al círculo unidad exactamente una vez, un ángulo dirigido queda descrito, aún más sencillamente, mediante un punto sobre el círculo unidad, es decir un punto (x,y) tal que x2+y2=1.

 

Entonces el seno del ángulo se define como la ordenada y del punto que lo representa y el coseno como la abcisa x, según se representa en la figura siguiente:

 

Sin embargo queremos definir el seno y el coseno de cualquier número real x .

El procedimiento usual es asociar un ángulo a cada número.

Esta asociación se lleva a cabo del modo siguiente: dado un número real cualquiera x, elíjase un punto P sobre el círculo unidad tal que x sea la longitud del arco de círculo que empieza en (1,0) y que se dirige hacia P en sentido contrario al de las agujas de un reloj.

 

El ángulo así construido determinado por P se denomina ángulo de x radianes. Al ser 2p  la longitud total del círculo, el ángulo de x radianes y el ángulo de 2p +xradianes son idénticos.

Se puede definir ahora el seno de x como el seno del ángulo de x radianes.

 

Esta definición se extiende primero al intervalo [-p , 0 ) de la forma siguiente:

Por último, la definición de las funciones seno y coseno se extiende a toda la recta real de forma periódica.

Las figuras siguientes muestran esta extensión.

 

 

 

Las funciones seno y coseno son continuas en IR y admiten derivada en todo punto verificándose que

Además, son funciones acotadas puesto que verifican las siguientes igualdades:

El resto de las funciones trigonométricas se definen como sigue:

 

 

Véanse las gráficas de estas funciones en las figuras siguientes

 

Propiedades de las funciones trigonométricas.

  cos2 x + sen2 x =1,

  cos(x+y)=cos x cos y - sen x sen y,  cos 2x= cos2 x - sen2x

  cos(x- y)= cos x cos y + sen x sen y,

  sen (x+y)=sen x cos y + cos x sen y, sen 2x= 2cos x sen y

  sen (x- y)=sen x cos y- cos x sen y

 

Las funciones trigonométricas inversas.

La función f(x)=sen x, definida en el intervalo cerrado [-p /2,p /2], es continua, estrictamente creciente y transforma dicho intervalo en el [-1, 1]. A su función inversa la denotaremos por

               f -1(x)=arc sen x

estará definida de [-1, 1] siendo también continua y estrictamente creciente.

Es inmediato comprobar que 

arc sen (- x)=- arc sen x para todo x en [-1, 1]. 

   

 

La función f(x)=cos x, definida en el intervalo cerrado [0, p ], es continua, estrictamente decreciente y transforma dicho intervalo en el [-1, 1]. Esta función es pues un homeomorfismo del primer intervalo sobre el segundo y su función inversa que denotaremos por

                        f -1(x)=arc cos x

 

estará definida de [-1, 1] siendo también continua y estrictamente decreciente.

   

 

Las funciones trigonométricas inversas arc cos x y arc sen x definidas en el intervalo [-1,1] son derivables en todos los puntos de (-1, 1) y se tiene

La función f(x)=tag x, definida en el intervalo (-p /2,p /2), es continua, estrictamente creciente y transforma dicho intervalo en IR puesto que

Esta función es pues un homeomorfismo del primer intervalo sobre toda la recta real y su función inversa

             f -1(x)=arc tag x

que estará definida en IR, es también continua y estrictamente creciente.

 

   

 

Además arc tag x es derivable en todo punto y su derivada viene dada por

 

Ejercicios

Identidades Trigonométricas

Todas las funciones en  O.

Identidades trigonométricas fundamentales, y cómo convertir de una función trigonométrica a otra.

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).

Notación: se define sen²α como (sen α)². Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas.

Relaciones básicas

Relación pitagórica	${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,}$
Identidad de la razón	${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\operatorname {sen} \theta }{\cos \theta }}}$

De estas dos identidades, se puede elaborar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si ${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {sen} \theta \,=\,1/2}$ la conversión propuesta en la tabla indica que ${\displaystyle \scriptstyle \cos \theta \,=\,{\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}\theta }}={\sqrt {3}}/2}$, aunque es posible que ${\displaystyle \scriptstyle \cos \theta \,=\,-{\sqrt {3}}/2}$. Para obtener el signo correcto se necesitará saber los valores para los cuales la función trigonométrica en cuestión es negativa o positiva.

Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.

En términos de	${\displaystyle \operatorname {sen} \!}$	${\displaystyle \cos \!}$	${\displaystyle \tan \!}$	${\displaystyle \cot \!}$	${\displaystyle \sec \!}$	${\displaystyle \csc \!}$
${\displaystyle \operatorname {sen} \theta }$	${\displaystyle \operatorname {sen} \theta \ }$	${\displaystyle {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\csc \theta }}}$
${\displaystyle \cos \theta }$	${\displaystyle {\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \cos \theta \ }$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sec \theta }}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}}$
${\displaystyle \tan \theta }$	${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen} \theta }{\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}}$	${\displaystyle \tan \theta \ }$	${\displaystyle {\frac {1}{\cot \theta }}}$	${\displaystyle {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}$
${\displaystyle \cot \theta }$	${\displaystyle {{\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}\theta }} \over \operatorname {sen} \theta }}$	${\displaystyle {\cos \theta \over {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\tan \theta }}}$	${\displaystyle \cot \theta \ }$	${\displaystyle {1 \over {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$
${\displaystyle \sec \theta }$	${\displaystyle {1 \over {\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {1 \over \cos \theta }}$	${\displaystyle {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle {{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }} \over \cot \theta }}$	${\displaystyle \sec \theta \ }$	${\displaystyle {\csc \theta \over {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}$
${\displaystyle \csc \theta }$	${\displaystyle {1 \over \operatorname {sen} \theta }}$	${\displaystyle {1 \over {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }} \over \tan \theta }}$	${\displaystyle {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle {\sec \theta \over {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle \csc \theta \ }$

De las definiciones de las funciones trigonométricas:

${\displaystyle \tan {x}={\frac {\operatorname {sen} {x}}{\cos {x}}}\qquad \cot {x}={\frac {1}{\tan {x}}}={\frac {\cos {x}}{\operatorname {sen} {x}}}}$

${\displaystyle \sec {x}={\frac {1}{\cos {x}}}\qquad \csc {x}={\frac {1}{\operatorname {sen} {x}}}}$

Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):

${\displaystyle \operatorname {sen}(x)=\operatorname {sen}(x+2\pi )\qquad \cos(x)=\cos(x+2\pi )\qquad \tan(x)=\tan(x+\pi )}$

${\displaystyle \operatorname {sen}(-x)=\operatorname {sen}(x+\pi )\qquad \cos(-x)=-\cos(x+\pi )}$

${\displaystyle \tan(-x)=-\tan(x)\qquad \cot(-x)=-\cot(x)}$

${\displaystyle \operatorname {sen}(x)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\qquad \cos(x)=\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\qquad \tan(x)=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}$

A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:

${\displaystyle a\operatorname {sen}(x)+b\cos(x)={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \operatorname {sen} \left(x+\arctan {\frac {b}{a}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\left(x\right)+\cos ^{2}\left(x\right)=1}$

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros de "sen² + cos² = 1" por cos², se obtiene:

${\displaystyle \tan ^{2}\left(x\right)+1=\sec ^{2}\left(x\right)}$

Ahora, dividiendo ambos miembros de la misma expresión por el sen², se obtiene:

${\displaystyle \cot ^{2}\left(x\right)+1=\csc ^{2}\left(x\right)}$

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

${\displaystyle \operatorname {sen}(x)={\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}\qquad \operatorname {sen}(x)={\frac {\tan {x}}{\sqrt {1+\tan ^{2}(x)}}}}$

${\displaystyle \operatorname {sen}(x)={\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}(x)}}}\qquad \operatorname {sen}(x)={\frac {1}{\sec {x}}}{\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}}$

Ejemplo 2:

] ${\displaystyle {\frac {\sec ^{2}t-1}{\sec ^{2}t}}=\operatorname {sen} ^{2}t}$

Teoremas de la suma y diferencia de ángulos

Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

]${\displaystyle \operatorname {sen}(x\pm y)=\operatorname {sen}(x)\cos(y)\pm \cos(x)\operatorname {sen}(y)}$ ${\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos(x)\cos(y)\mp \operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)}$ ${\displaystyle \tan(x\pm y)={\frac {\tan(x)\pm \tan(y)}{1\mp \tan(x)\tan(y)}}}$

De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:

${\displaystyle \operatorname {sen}(\pi \pm x)=\mp \operatorname {sen}(x)}$

${\displaystyle \cos(\pi \pm x)=-\cos(x)}$

${\displaystyle \tan(\pi \pm x)=\pm \tan(x)}$

${\displaystyle \csc(\pi \pm x)=\mp \csc(x)}$

Para ángulos complementarios:

${\displaystyle \operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\cos(x)}$

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\operatorname {sen}(x)}$

${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\cot(x)}$

${\displaystyle \csc \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\sec(x)}$

${\displaystyle \sec \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\csc(x)}$

${\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\tan(x)}$

Para ángulos opuestos:

${\displaystyle \operatorname {sen} \left(-x\right)=-\operatorname {sen} \left(x\right)}$

${\displaystyle \cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)}$

${\displaystyle \tan \left(-x\right)=-\tan \left(x\right)}$

${\displaystyle \csc \left(-x\right)=-\csc \left(x\right)}$

${\displaystyle \sec \left(-x\right)=\sec \left(x\right)}$

${\displaystyle \cot \left(-x\right)=-\cot \left(x\right)}$

Identidades del ángulo múltiple

Si T_n es el n-simo Polinomio de Chebyshev entonces

${\displaystyle \cos(nx)=T_{n}(\cos(x)).}$

Fórmula de De Moivre:

${\displaystyle \cos(nx)+i\operatorname {sen}(nx)=(\cos(x)+i\operatorname {sen}(x))^{n}}$

Identidades del ángulo doble, triple y medio

Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea ${\displaystyle \operatorname {sen}(x+x)=\operatorname {sen}(2x)}$) en las identidades anteriores, y usando el teorema de Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando ${\displaystyle n=2}$.

Fórmula del ángulo doble
${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} 2\theta &=2\operatorname {sen} \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\cos 2\theta &=\cos ^{2}\theta -\operatorname {sen} ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\operatorname {sen} ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}}$	${\displaystyle \tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}\,}$	${\displaystyle \cot 2\theta ={\frac {\cot \theta -\tan \theta }{2}}\,}$
Fórmula del ángulo triple
${\displaystyle \operatorname {sen} 3\theta =3\operatorname {sen} \theta -4\operatorname {sen} ^{3}\theta \,}$	${\displaystyle \cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \,}$	${\displaystyle \tan 3\theta ={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}}$
Fórmula del ángulo medio
${\displaystyle \operatorname {sen} {\tfrac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}}$	${\displaystyle \cos {\tfrac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta }}\\&={\frac {\operatorname {sen} \theta }{1+\cos \theta }}\end{aligned}}}$	${\displaystyle \cot {\tfrac {\theta }{2}}=\csc \theta +\cot \theta }$

Producto infinito de Euler

${\displaystyle \cos \left({\theta \over 2}\right)\cdot \cos \left({\theta \over 4}\right)\cdot \cos \left({\theta \over 8}\right)\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\theta \over 2^{n}}\right)={\operatorname {sen}(\theta ) \over \theta }.}$

Identidades para la reducción de exponentes

Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sen²(x).

Seno	${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {sen} ^{3}\theta ={\frac {3\operatorname {sen} \theta -\operatorname {sen} 3\theta }{4}}}$	${\displaystyle \operatorname {sen} ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}}$
Coseno	${\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}}$	${\displaystyle \cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos 3\theta }{4}}}$	${\displaystyle \cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}}$	${\displaystyle \cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos 3\theta +\cos 5\theta }{16}}}$
Otros	${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 4\theta }{8}}}$	${\displaystyle \operatorname {sen} ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {\operatorname {sen} ^{3}2\theta }{8}}}$

Paso de producto a suma

Puede probarse usando el teorema de la suma para desarrollar los segundos miembros.

${\displaystyle \cos x\cos y={\cos(x+y)+\cos(x-y) \over 2}}$ ${\displaystyle \operatorname {sen} x\cos y={\operatorname {sen}(x+y)+\operatorname {sen}(x-y) \over 2}}$ ${\displaystyle \cos x\operatorname {sen} y={\operatorname {sen}(x+y)-\operatorname {sen}(x-y) \over 2}}$

Paso de suma a producto

]${\displaystyle \operatorname {sen} a+\operatorname {sen} b=\;\;\;2\operatorname {sen} \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {sen} a-\operatorname {sen} b=\;\;\;2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\operatorname {sen} \left({\frac {a-b}{2}}\right)}$ ${\displaystyle \cos a+\cos b=\;\;\;2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)}$ ${\displaystyle \cos a-\cos b=-2\operatorname {sen} \left({\frac {a+b}{2}}\right)\operatorname {sen} \left({\frac {a-b}{2}}\right)}$

Paso de diferencia de cuadrados a producto

${\displaystyle 1)\operatorname {sen} ^{2}x-\operatorname {sen} ^{2}y=\operatorname {sen}(x+y)\operatorname {sen}(x-y)\,}$

${\displaystyle 2)\cos ^{2}x-\operatorname {sen} ^{2}y=\cos(x+y)\cos(x-y)\,}$

Deducción

1) recordando: que cateto opuesto sobre cateto adyacente

${\displaystyle \cos(x+y)=\cos x\cos y-\operatorname {sen} x\operatorname {sen} y\,}$

${\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y+\operatorname {sen} x\operatorname {sen} y\,}$

multiplicando

${\displaystyle \cos(x+y)\cos(x-y)=\cos ^{2}x\cos ^{2}y-\operatorname {sen} ^{2}x\operatorname {sen} ^{2}y\,}$

De tal manera que obtendremos:

${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}x=1-\cos ^{2}x\,}$

${\displaystyle \cos ^{2}y=1-\operatorname {sen} ^{2}y\,}$

aplicando esto en la ecuación inicial

${\displaystyle \cos(x+y)\cos(x-y)=\cos ^{2}x(1-\operatorname {sen} ^{2}y)-(1-\cos ^{2}x)\operatorname {sen} ^{2}y\,}$

multiplicando

${\displaystyle 1)\cos ^{2}x-\operatorname {sen} ^{2}y=\cos(x+y)\cos(x-y)\,}$

De una manera análoga se halla el primer teorema.

Eliminar seno y coseno

A veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible eliminar senos y cosenos en tangentes.

${\displaystyle |\operatorname {sen} {(x)}|={\frac {|\tan {(x)}|}{\sqrt {1+\tan ^{2}{(x)}}}}}$

${\displaystyle \operatorname {sen} {\left(x\right)}={2}\operatorname {sen} {\left({\frac {x}{2}}\right)}\cos {\left({\frac {x}{2}}\right)}={\frac {2\tan {\left({\frac {1}{2}}x\right)}}{1+\tan ^{2}{\left({\frac {1}{2}}x\right)}}}}$

${\displaystyle \cos {\left(x\right)}=2\cos ^{2}{\left({\frac {x}{2}}\right)}-1={\frac {1-\tan ^{2}{\left({\frac {1}{2}}x\right)}}{1+\tan ^{2}{\left({\frac {1}{2}}x\right)}}}}$

${\displaystyle |\cos {\left(x\right)}|={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}{\left(x\right)}}}}}$

Funciones trigonométricas inversas

${\displaystyle \arctan(x)+\operatorname {arccot}(x)=\left\{{\begin{matrix}\pi /2,&{\mbox{si }}x>0\\-\pi /2,&{\mbox{si }}x<0\end{matrix}}\right..}$

${\displaystyle \arctan(x)+\arctan(y)=\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)}$

Composición de funciones trigonométricas

${\displaystyle \operatorname {sen}(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$ ${\displaystyle \operatorname {sen}(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}}$ ${\displaystyle \tan(\operatorname {arcsen} (x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$	${\displaystyle \cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$ ${\displaystyle \cos(\operatorname {arcsen} (x))={\sqrt {1-x^{2}}}\,}$ ${\displaystyle \tan(\arccos(x))={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}$
para ${\displaystyle n\in \mathbb {N} :}$
${\displaystyle \cos(n\arccos(x))={\frac {2^{n}x^{n}}{2}}+\sum _{k=1}(-1)^{k}{\frac {n}{k}}\left({\begin{matrix}n-1-k\\k-1\end{matrix}}\right)(2x)^{n-2k}}$
${\displaystyle \operatorname {sen}(n\operatorname {arcsen} (x))=x\left[\sum _{k=0}(-1)^{k}\left({\begin{matrix}n-1-k\\k\end{matrix}}\right)(2x)^{n-2k-1}\right]}$

Fórmula de productos infinitos

Seno	Coseno
${\displaystyle \operatorname {sen} x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {senh} x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen} x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)}$	${\displaystyle \cos x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle \cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)}$

Fórmula de Euler

${\displaystyle e^{+\mathrm {i} x}=\cos {\left(x\right)}+\mathrm {i} \operatorname {sen} {\left(x\right)}}$

${\displaystyle e^{-\mathrm {i} x}=\cos {\left(x\right)}-\mathrm {i} \operatorname {sen} {\left(x\right)}}$

Teorema del coseno

Teorema del coseno Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces: ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,}$

Teorema del seno

Artículo principal: Teorema del seno

En todo triángulo se da la siguiente relación entre la longitud de sus lados a, b y c y el seno de sus respectivos ángulos opuestos A, B y C

${\displaystyle {\frac {a}{\operatorname {sen}(A)}}={\frac {b}{\operatorname {sen}(B)}}={\frac {c}{\operatorname {sen}(C)}}}$

Aplicación

El teorema del seno es usado con frecuencia para resolver problemas en los que se conoce un lado del triángulo y dos ángulos y se desea encontrar las medidas de los otros lados para posteriormente identificar los valores de las funciones trigonométricas.

Definiciones exponenciales

La mayor parte de funciones trigonométricas admiten una formulación en términos de números complejos, algunos ejemplos:

Función	Función inversa
${\displaystyle \operatorname {sen} \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}\,}$	${\displaystyle \operatorname {arcsen} x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,}$
${\displaystyle \cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}\,}$	${\displaystyle \arccos x=-i\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,}$
${\displaystyle \tan \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}}\,}$	${\displaystyle \arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)\,}$
${\displaystyle \csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,}$	${\displaystyle \operatorname {arccsc} x=-i\ln \left({\tfrac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {1}{x^{2}}}}}\right)\,}$
${\displaystyle \sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}\,}$	${\displaystyle \operatorname {arcsec} x=-i\ln \left({\tfrac {1}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {i}{x^{2}}}}}\right)\,}$
${\displaystyle \cot \theta ={\frac {i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,}$	${\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i-x}{i+x}}\right)\,}$
${\displaystyle \operatorname {cis} \,\theta =e^{i\theta }\,}$	${\displaystyle \operatorname {arccis} \,x={\frac {\ln x}{i}}\,}$

Ejercicios